Теорема Коши о промежуточном значении

Если: 1. $f(x)$ - непрерывна 2. $f(x)\mathpunct{:}~ [a, b] \to \mathbb{R}$ 3. $f(a) < f(b)$ То: $$\forall{C \in (f(a), f(b))}~~ \exists{c \in (a, b)}\mathpunct{:}~~ f(c) = C$$

**1 случай:** $C = 0$ Из условия 3 получаем, что $f(a) < 0, f(b) > 0$. Разделим отрезок $[a, b]$ пополам и возьмём $c_{1} = \dfrac{a+b}{2}$: 1. $f(c_{1}) = 0 \implies c_{1}$ - искомое 2. $f(c_{1}) > 0 \implies [a_{1}, b_{1}] = [a, c_{1}]$ 3. $f(c_{1}) < 0 \implies [a_{1}, b_{1}] = [c_{1}, b]$ Продолжая данный процесс, получаем 2 возможные ситуации: 1. $\exists{c_{n}}\mathpunct{:}~ f(c_{n}) = 0$, нужное $c$ найдено. 2. $\forall{c_{n}}\mathpunct{:}~ f(c_{n}) \neq 0$ Рассмотрим вторую ситуацию. $\{[a_{n}, b_{n}]\}$ - последовательность вложенных стягивающихся отрезков, а значит по принципу Кантора: $\forall{n \in \mathbb{N}}~~ \exists!~{c}\mathpunct{:}~~ c \in [a_{n}, b_{n}]$ Докажем, что $f(c) = 0$. Рассмотрим $a_{n} \to c-0, b_{n} \to c+0$ тогда по непрерывности: $$\lim_{n \to \infty} f(a_{n}) = \lim_{n \to \infty} f(b_{n}) = f(c)$$ По теореме о переходе к пределу в неравенстве: $$\begin{cases} \lim_{n \to \infty} f(a_{n}) \leq 0 \\ \lim_{n \to \infty} f(b_{n}) \geq 0 \end{cases} \Rightarrow 0 \leq f(c) \leq 0 \Rightarrow f(c) = 0$$ **2 случай:** $C \neq 0$ Рассмотрим $g(x) = f(x) - C$, $g(x)$ непрерывна. По условию теоремы: $$g(a) = f(a) - C < 0 \land g(b) = f(b) - C > 0$$ Из случая 1 получаем: $$\exists{c}\mathpunct{:}~~ g(c) = 0 \implies f(c) - C = 0 \implies f(c) = C ~~~ \square$$